与えられた2次式 $x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1)$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた2次式は $x^2 + (a-2)x - (3a-1)(2a+1)$ です。

まず定数項 $-(3a-1)(2a+1)$ を展開します。

$-(3a-1)(2a+1) = -(6a^2 + 3a - 2a - 1) = -(6a^2 + a - 1)$

次に、係数 $a-2$ を持つ $x$ の項と、定数項 $-(6a^2+a-1)$ を持つ2次式が、$(x+A)(x+B) = x^2 + (A+B)x + AB$ の形式に因数分解できるような $A$ と $B$ を探します。

つまり、$A+B = a-2$ であり、$AB = -(6a^2+a-1)$ となる $A$ と $B$ を見つけます。

ここで、$3a-1$ と $-(2a+1)$ を試してみると、$A = 3a-1$, $B = -2a-1$ のとき、

$A+B = (3a-1) + (-2a-1) = a-2$ となり、

$AB = (3a-1)(-2a-1) = -6a^2 -3a +2a +1 = -6a^2 -a + 1 = -(6a^2+a-1)$ となるため、条件を満たしています。

したがって、与えられた2次式は $(x + 3a - 1)(x - 2a - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 3a - 1)(x - 2a - 1)$