2次不等式 $ax^2 + bx + 12 \ge 0$ の解が $-1 \le x \le 2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + bx + 12 \ge 0$ の解が $-1 \le x \le 2$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の解が $-1 \le x \le 2$ であることから、不等式 $ax^2 + bx + 12 \ge 0$ は $a < 0$ であり、$x = -1$ と $x = 2$ は $ax^2 + bx + 12 = 0$ の解である。

したがって、$ax^2 + bx + 12 = 0$ は $a(x + 1)(x - 2) = 0$ と書ける。

展開すると $ax^2 - ax - 2a = 0$ となる。

$ax^2 + bx + 12 = 0$ と $ax^2 - ax - 2a = 0$ の係数を比較すると、以下の関係が成り立つ。

$b = -a$

$12 = -2a$

$12 = -2a$ から $a = -6$ を得る。

$b = -a$ に $a = -6$ を代入すると、$b = -(-6) = 6$ を得る。

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 6$