3直線AB, EF, CDは平行で、AB=8cm, CD=12cmである。 (1) BF:FDを求める。 (2) 線分EFの長さを求める。

40番の問題から解答します。

1. 問題の内容

3直線AB, EF, CDは平行で、AB=8cm, CD=12cmである。

(1) BF:FDを求める。

(2) 線分EFの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABF$ と $\triangle CDF$ において、

$AB \parallel CD$ より、$\angle ABF = \angle CDF$ (同位角)

$\angle BFA = \angle DFC$ (対頂角)

よって、$\triangle ABF \sim \triangle CDF$

したがって、BF:FD = AB:CD = 8:12 = 2:3

(2)

$\triangle BFE$ と $\triangle BCD$ において、

$EF \parallel CD$ より、$\angle BEF = \angle BCD$ (同位角)

$\angle EBF = \angle DBC$ (共通)

よって、$\triangle BFE \sim \triangle BCD$

したがって、BF:BD = EF:CD

(1)より、BF:FD = 2:3なので、BF:BD = 2:(2+3) = 2:5

よって、EF:12 = 2:5

$5EF = 24$

$EF = \frac{24}{5} = 4.8$

3. 最終的な答え

(1) BF:FD = 2:3

(2) 線分EFの長さ = 4.8cm

41番の問題を解答します。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、辺BCを3等分する点をP, Qとし、辺ABの中点をMとする。線分AQとCMの交点をDとするとき、

(1) △CDQ∽△CMPを証明する。

(2) AD:DQを求める。

2. 解き方の手順

(1)

△CDQと△CMPにおいて、

∠CDQ = ∠CMP (対頂角)

BCを3等分するので、CQ = $\frac{2}{3}$BC

$MP \parallel CQ$ より、∠DCQ = ∠MPC （錯角）

よって、2角がそれぞれ等しいので、△CDQ∽△CMP

(2)

メネラウスの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$

MはABの中点なので、AM = MB, よって$\frac{AM}{MB} = 1$

BP:PC = 1:2

よって、

$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$

$\frac{CD}{DA} = 2$

$CD:DA = 2:1$

次に、チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QD} = \frac{AD+DQ}{QD} = \frac{AD}{QD} + 1$

$\triangle CDQ \sim \triangle CMP$ より、

$\frac{CD}{CM} = \frac{CQ}{CP} = \frac{2}{1} = 2$

よって、$\frac{CM}{CD} = \frac{1}{2}$

$\frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}$

メネラウスの定理より

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QD}{DA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QD}{DA} = 1$

$\frac{QD}{DA} = \frac{2}{3}$

$\frac{DA}{QD} = \frac{3}{2}$

$AD:DQ = 3:2$

3. 最終的な答え

(1) △CDQ∽△CMP

(証明)

△CDQと△CMPにおいて、

∠CDQ = ∠MDP (対頂角)

MP//BCより、∠DCQ = ∠MPC(錯角)

2角がそれぞれ等しいので△CDQ∽△CMP

(2) AD:DQ = 3:2