三角形ABCにおいて、辺BCを3等分する点をP, Qとし、辺ABの中点をMとします。線分AQとCMの交点をDとするとき、以下の問いに答えます。 (1) $\triangle CDQ \sim \triangle CMP$ を証明します。 (2) AD:DQを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3等分する点をP, Qとし、辺ABの中点をMとします。線分AQとCMの交点をDとするとき、以下の問いに答えます。

(1) $\triangle CDQ \sim \triangle CMP$ を証明します。

(2) AD:DQを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle CDQ$と$\triangle CMP$において、

$\angle CDQ = \angle CMP$ (対頂角)

$\angle DCQ = \angle MPC$ (MPはBCと平行なので、錯角は等しい)

よって、2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle CDQ \sim \triangle CMP$

(2) $\triangle ABQ$において、点Mは辺ABの中点であり、点Pは辺BQの中点なので、MPはAQに平行。

メネラウスの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QD}{DA} = 1$

$AM = MB$より、$\frac{AM}{MB}=1$

$BC = 3CQ/2$より、$\frac{BC}{CQ} = 3/2$

これらを代入すると、

$1 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QD}{DA} = 1$

$\frac{QD}{DA} = \frac{2}{3}$

よって、$DA:DQ = 3:2$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle CDQ \sim \triangle CMP$

(2) AD:DQ = 3:2