台形ABCDにおいて、AB上に点Eがあり、EからBCに平行な直線がBD、CDとそれぞれ点F、Gで交わります。AE = x cmとするとき、 (1) FGの長さをxの式で表しなさい。 (2) EF:FG = 1:4のとき、xの値を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題42について回答します。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB上に点Eがあり、EからBCに平行な直線がBD、CDとそれぞれ点F、Gで交わります。AE = x cmとするとき、

(1) FGの長さをxの式で表しなさい。

(2) EF:FG = 1:4のとき、xの値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) FGの長さをxの式で表す

まず、EFとBCが平行であることから、三角形EBFと三角形ABCが相似であることがわかります。

したがって、

$EF/BC = AE/AB$

ここで、BC = 10cm、AB = AE + EB = x + 12cm - x = 12cm - xなので、

$EF/10 = EB/12$

$EF = (EB/AB) * BC = ((12-x)/12) * 10 = (120-10x)/12 = (60-5x)/6$

次に、DGとBCが平行なので、三角形DFGと三角形DBCが相似であることがわかります。

したがって、

$FG/BC = DG/DC$

また、三角形AEGと三角形ABCが相似であることから、

$AG/AC=AE/AB$

ここで、DC = AD + GCなので、

$FG/BC = DG/DC$より、$FG=BC*(DG/DC)=10*(DG/DC)$

また、三角形AEGと三角形ABCは相似なので、EG//BC. よって、EFCGは平行四辺形になる。

したがって、FG=EG-EF. EGを求める。

$DG/DB = (CD-CG)/DB$

$EG/BC = AG/AC$

$AE/AB = AG/AC$

$x/12 = AG/AC$

$AG/AC = x/12$

$EG/10 = x/12$

$EG = (10x)/12 = (5x)/6$

$FG=EG-EF= (5x)/6 - (60-5x)/6= (10x-60)/6= (5x-30)/3$

(2) EF:FG = 1:4のとき、xの値を求める

$EF/FG = 1/4$

$EF = (60-5x)/6, FG = (5x-30)/3$

$((60-5x)/6)/((5x-30)/3) = 1/4$

$(60-5x)/6 * 3/(5x-30) = 1/4$

$(60-5x)/(2*(5x-30)) = 1/4$

$4(60-5x) = 2(5x-30)$

$240-20x = 10x - 60$

$30x = 300$

$x=10$

3. 最終的な答え

(1) FG = $(5x-30)/3$ cm

(2) x = 10