初項が80、公差が-7の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_n$が最大となる$n$の値と、そのときの$S_n$の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が80、公差が-7の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_n$が最大となる$n$の値と、そのときの$S_n$の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項$a_n$は、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

で与えられます。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差です。

この問題では、$a_1 = 80$、$d = -7$なので、

$a_n = 80 + (n-1)(-7) = 80 - 7n + 7 = 87 - 7n$

となります。

$S_n$が最大となるのは、$a_n$が初めて負になる直前です。つまり、$a_n > 0$を満たす最大の$n$を求めることになります。

$87 - 7n > 0$

$87 > 7n$

$n < \frac{87}{7} \approx 12.43$

したがって、$n = 12$のとき、$a_n$は正であり、$n = 13$のとき、$a_n$は負になります。$a_{12} = 87 - 7 \times 12 = 87 - 84 = 3$、$a_{13} = 87 - 7 \times 13 = 87 - 91 = -4$ となります。

等差数列の和の公式は、

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

で与えられます。$n = 12$のとき、

$S_{12} = \frac{12}{2}(80 + 3) = 6(83) = 498$

また、$n = 13$のとき、

$S_{13} = \frac{13}{2}(80 - 4) = \frac{13}{2}(76) = 13(38) = 494$

したがって、$S_n$が最大となるのは、$n = 12$のときで、その最大値は498です。

3. 最終的な答え

$n = 12$のとき、最大値 $498$ をとる。