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複素数平面上に点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)があり、三角形ABCがある。辺BCの中点をMとする。辺AB, ACをそれぞれ斜辺とする2つの直角二等辺三角形を三角形ABCの外側に作り、それらの頂点をP, Qとする。このとき、MP$\perp$MQ, MP=MQであることを示せ。

幾何学複素数平面幾何学直角二等辺三角形ベクトル
2025/6/4

1. 問題の内容

複素数平面上に点A(α\alpha), B(β\beta), C(γ\gamma)があり、三角形ABCがある。辺BCの中点をMとする。辺AB, ACをそれぞれ斜辺とする2つの直角二等辺三角形を三角形ABCの外側に作り、それらの頂点をP, Qとする。このとき、MP⊥\perpMQ, MP=MQであることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、点P, Q, Mの複素数表示をそれぞれp, q, mとする。
Mは辺BCの中点なので、m=β+γ2m = \frac{\beta + \gamma}{2}
Pは辺ABを斜辺とする直角二等辺三角形の頂点なので、
p−αβ−α=12e−π4i=12(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))=12(1−i)\frac{p - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2}(1 - i)
よって、
p=α+12(1−i)(β−α)=α+β−α2−i(β−α)2=α+β2−i(β−α)2p = \alpha + \frac{1}{2}(1 - i)(\beta - \alpha) = \alpha + \frac{\beta - \alpha}{2} - \frac{i(\beta - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{i(\beta - \alpha)}{2}
Qは辺ACを斜辺とする直角二等辺三角形の頂点なので、
q−αγ−α=12eπ4i=12(cos⁡(π4)+isin⁡(π4))=12(1+i)\frac{q - \alpha}{\gamma - \alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{4}i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2}(1 + i)
よって、
q=α+12(1+i)(γ−α)=α+γ−α2+i(γ−α)2=α+γ2+i(γ−α)2q = \alpha + \frac{1}{2}(1 + i)(\gamma - \alpha) = \alpha + \frac{\gamma - \alpha}{2} + \frac{i(\gamma - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \gamma}{2} + \frac{i(\gamma - \alpha)}{2}
次に、q−mp−m\frac{q - m}{p - m}を計算する。
q−m=α+γ2+i(γ−α)2−β+γ2=α−β2+i(γ−α)2q - m = \frac{\alpha + \gamma}{2} + \frac{i(\gamma - \alpha)}{2} - \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{i(\gamma - \alpha)}{2}
p−m=α+β2−i(β−α)2−β+γ2=α−γ2−i(β−α)2p - m = \frac{\alpha + \beta}{2} - \frac{i(\beta - \alpha)}{2} - \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\alpha - \gamma}{2} - \frac{i(\beta - \alpha)}{2}
q−mp−m=α−β2+i(γ−α)2α−γ2−i(β−α)2=α−β+i(γ−α)α−γ−i(β−α)=(α−β+i(γ−α))(α−γ+i(β−α))(α−γ)2+(β−α)2\frac{q - m}{p - m} = \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{i(\gamma - \alpha)}{2}}{\frac{\alpha - \gamma}{2} - \frac{i(\beta - \alpha)}{2}} = \frac{\alpha - \beta + i(\gamma - \alpha)}{\alpha - \gamma - i(\beta - \alpha)} = \frac{(\alpha - \beta + i(\gamma - \alpha))(\alpha - \gamma + i(\beta - \alpha))}{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}
(α−β+i(γ−α))(α−γ+i(β−α))=(α−β)(α−γ)−(γ−α)(β−α)+i[(α−β)(β−α)+(γ−α)(α−γ)](\alpha - \beta + i(\gamma - \alpha))(\alpha - \gamma + i(\beta - \alpha)) = (\alpha - \beta)(\alpha - \gamma) - (\gamma - \alpha)(\beta - \alpha) + i[(\alpha - \beta)(\beta - \alpha) + (\gamma - \alpha)(\alpha - \gamma)]
=α2−αγ−αβ+βγ−(γβ−γα−αβ+α2)+i[αβ−α2−β2+αβ+γα−γ2−α2+γα]= \alpha^2 - \alpha\gamma - \alpha\beta + \beta\gamma - (\gamma\beta - \gamma\alpha - \alpha\beta + \alpha^2) + i[\alpha\beta - \alpha^2 - \beta^2 + \alpha\beta + \gamma\alpha - \gamma^2 - \alpha^2 + \gamma\alpha]
=2αγ−2βγ+i[2αβ+2γα−2α2−β2−γ2]= 2\alpha\gamma - 2\beta\gamma + i[2\alpha\beta + 2\gamma\alpha - 2\alpha^2 - \beta^2 - \gamma^2]
(α−γ)2+(β−α)2=α2−2αγ+γ2+β2−2βα+α2=2α2+β2+γ2−2αγ−2βα(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\gamma + \gamma^2 + \beta^2 - 2\beta\alpha + \alpha^2 = 2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 2\alpha\gamma - 2\beta\alpha
上記より、
q−mp−m=2αγ−2βγ+i(2αβ+2γα−2α2−β2−γ2)2α2+β2+γ2−2αγ−2βα\frac{q - m}{p - m} = \frac{2\alpha\gamma - 2\beta\gamma + i(2\alpha\beta + 2\gamma\alpha - 2\alpha^2 - \beta^2 - \gamma^2)}{2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 2\alpha\gamma - 2\beta\alpha}
ここで問題文の解答例を見てみると
p=α+12(1−i)(β−α)=12(α+β)−i2(β−α)p = \alpha + \frac{1}{2}(1 - i)(\beta - \alpha) = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) - \frac{i}{2}(\beta - \alpha)
q=α+12(1+i)(γ−α)=12(α+γ)+i2(γ−α)q = \alpha + \frac{1}{2}(1 + i)(\gamma - \alpha) = \frac{1}{2}(\alpha + \gamma) + \frac{i}{2}(\gamma - \alpha)
m=β+γ2m = \frac{\beta + \gamma}{2}
q−mp−m=12(α+γ)+i2(γ−α)−β+γ212(α+β)−i2(β−α)−β+γ2=α−β+i(γ−α)α−γ−i(β−α)\frac{q - m}{p - m} = \frac{\frac{1}{2}(\alpha + \gamma) + \frac{i}{2}(\gamma - \alpha) - \frac{\beta + \gamma}{2}}{\frac{1}{2}(\alpha + \beta) - \frac{i}{2}(\beta - \alpha) - \frac{\beta + \gamma}{2}} = \frac{\alpha - \beta + i(\gamma - \alpha)}{\alpha - \gamma - i(\beta - \alpha)}
q−m=12(α−β+i(γ−α))q-m = \frac{1}{2}(\alpha - \beta + i(\gamma - \alpha))
p−m=12(α−γ−i(β−α))p-m = \frac{1}{2}(\alpha - \gamma -i(\beta - \alpha))
ここで、i(p−m)=12(iα−iγ+(β−α))=12(β−α+i(α−γ))=−(q−m)i(p-m)=\frac{1}{2}(i\alpha - i\gamma + (\beta - \alpha))=\frac{1}{2}(\beta - \alpha + i(\alpha - \gamma)) = - (q-m)
よって q−mp−m=−i\frac{q-m}{p-m} = -i.
したがってarg⁡q−mp−m=arg⁡(−i)=−π2\arg \frac{q-m}{p-m} = \arg(-i) = -\frac{\pi}{2}なので、MP⊥\perpMQ。
また、∣q−mp−m∣=∣−i∣=1|\frac{q-m}{p-m}| = |-i|=1なので、∣q−m∣=∣p−m∣|q-m|=|p-m|, すなわちMP=MQ。

3. 最終的な答え

MP⊥\perpMQ, MP=MQ

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