直角三角形ABCにおいて、∠BAC = $θ$, AB = $a$ とするとき、BCとCHの長さを選択肢の中から求める問題。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠BAC = $θ$, AB = $a$ とするとき、BCとCHの長さを選択肢の中から求める問題。

2. 解き方の手順

* **BCの長さ:**

三角形ABCは直角三角形なので、三角比の定義より、

$\sin θ = \frac{BC}{AB}$

$BC = AB \sin θ$

$BC = a \sin θ$

したがって、BC = $a \sin θ$ である。

* **CHの長さ:**

三角形ABHは直角三角形なので、

$\angle BAH = θ$ より

$AH = a\cosθ$

三角形ACHも直角三角形であるから、

$\sinθ = \frac{CH}{AC}$

$CH = AC \sinθ$

ここで、$AC = AB\tanθ$ であるから

$AC = a\tanθ$

よって、

$CH = a\tanθ \sinθ = a\frac{\sinθ}{\cosθ}\sinθ = a\frac{\sin^{2}θ}{\cosθ}$

ただし、選択肢にはないので、別の方法で考えます。

三角形ABHで考えると、

$BH = a \sin θ$ である。

また、$BC = a \sin θ$ であるから、$BH=BC$

したがって、三角形BCHは直角二等辺三角形である。

ゆえに、$CH = BC \cos 45°$は成り立たない。

三角形ACHにおいて、

$CH = AC \sin \angle CAH$ となる。

$\angle CAH = 90° - θ$ より、$CH = AC \cosθ$

$BC = a \sin θ$ となる。

$CH = a \sin θ \tanθ$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

BC = $a \sin θ$

CH = $a \sin θ \tan θ$