実数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が以下の関係を満たすとき、次の問いに答える。 $\alpha + \beta + \gamma = p$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$ $\alpha\beta\gamma = r$ (1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。 (2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はすべて1であることを示す。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が以下の関係を満たすとき、次の問いに答える。

$\alpha + \beta + \gamma = p$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$

$\alpha\beta\gamma = r$

(1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。

(2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はすべて1であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $p=2$, $q=r+1$のとき、$\alpha, \beta, \gamma$を解とする3次方程式を考える。

3次方程式は

$x^3 - px^2 + qx - r = 0$

と表せる。

$p=2, q=r+1$を代入すると

$x^3 - 2x^2 + (r+1)x - r = 0$

となる。

この式は

$x^3 - 2x^2 + x + rx - r = 0$

$x(x^2 - 2x + 1) + r(x-1) = 0$

$x(x-1)^2 + r(x-1) = 0$

$(x-1)(x(x-1)+r) = 0$

$(x-1)(x^2 - x + r) = 0$

となる。

したがって、$x=1$は解である。つまり、$\alpha, \beta, \gamma$のうち少なくとも1つは1である。

(2) $p=3$, $q=3$のとき、$\alpha, \beta, \gamma$を解とする3次方程式を考える。

3次方程式は

$x^3 - px^2 + qx - r = 0$

と表せる。

$p=3, q=3$を代入すると

$x^3 - 3x^2 + 3x - r = 0$

となる。

この式は

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

なので、

$x^3 - 3x^2 + 3x - r = 0$

$(x-1)^3 + 1 - r = 0$

となる。

ここで、$x = \alpha, \beta, \gamma$である。

$\alpha, \beta, \gamma$は実数なので、$x$も実数である。

$(\alpha-1)^3 + 1 - r = 0$

$(\beta-1)^3 + 1 - r = 0$

$(\gamma-1)^3 + 1 - r = 0$

3つの式を足し合わせると

$(\alpha-1)^3 + (\beta-1)^3 + (\gamma-1)^3 + 3(1-r) = 0$

ここで、$\alpha + \beta + \gamma = 3$ なので、

$(\alpha-1) + (\beta-1) + (\gamma-1) = \alpha + \beta + \gamma - 3 = 3 - 3 = 0$

$A = \alpha - 1$, $B = \beta - 1$, $C = \gamma - 1$ とおくと、

$A + B + C = 0$

$A^3 + B^3 + C^3 + 3(1-r) = 0$

$A + B + C = 0$ より、$A^3 + B^3 + C^3 = 3ABC$

$3ABC + 3(1-r) = 0$

$ABC = r - 1$

$(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = r - 1$

$\alpha\beta\gamma - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + (\alpha + \beta + \gamma) - 1 = r - 1$

$r - 3 + 3 - 1 = r - 1$

$r - 1 = r - 1$

この式からは$\alpha, \beta, \gamma$がすべて1であることは示せない。

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$

$\alpha\beta\gamma = r$

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = 0$

$\alpha' = \alpha - 1$, $\beta' = \beta - 1$, $\gamma' = \gamma - 1$ とおくと、

$\alpha' + \beta' + \gamma' = 0$

$\alpha' + 1 = \alpha$, $\beta' + 1 = \beta$, $\gamma' + 1 = \gamma$

$(\alpha' + 1)(\beta' + 1) + (\beta' + 1)(\gamma' + 1) + (\gamma' + 1)(\alpha' + 1) = 3$

$\alpha'\beta' + \alpha' + \beta' + 1 + \beta'\gamma' + \beta' + \gamma' + 1 + \gamma'\alpha' + \gamma' + \alpha' + 1 = 3$

$\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha' + 2(\alpha' + \beta' + \gamma') + 3 = 3$

$\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha' = 0$

$(\alpha' + 1)(\beta' + 1)(\gamma' + 1) = r$

$(\alpha' + 1)(\beta' + 1)(\gamma' + 1) = \alpha'\beta'\gamma' + \alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha' + \alpha' + \beta' + \gamma' + 1 = r$

$\alpha'\beta'\gamma' + 0 + 0 + 1 = r$

$\alpha'\beta'\gamma' + 1 = r$

$\alpha' + \beta' + \gamma' = 0$

$\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha' = 0$

$\alpha'\beta'\gamma' = r - 1$

$\alpha', \beta', \gamma'$ を解とする3次方程式は

$x^3 - (\alpha' + \beta' + \gamma')x^2 + (\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha')x - \alpha'\beta'\gamma' = 0$

$x^3 - (r-1) = 0$

$x^3 = r-1$

$r = 1$ ならば $x = 0$

$\alpha' = \beta' = \gamma' = 0$

$\alpha = \beta = \gamma = 1$

$\alpha = \beta = \gamma = 1$のとき

$\alpha + \beta + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$

$\alpha\beta\gamma = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha, \beta, \gamma$のうち少なくとも1つは1である。

(2) $\alpha = \beta = \gamma = 1$