実数$\alpha, \beta, \gamma$ について、以下の関係式が与えられています。 $\alpha + \beta + \gamma = p$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$ $\alpha\beta\gamma = r$ $p=2, q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも一つは1であることを示してください。ただし、解と係数の関係は使用しないでください。

1. 問題の内容

実数$\alpha, \beta, \gamma$ について、以下の関係式が与えられています。

$\alpha + \beta + \gamma = p$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$

$\alpha\beta\gamma = r$

$p=2, q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも一つは1であることを示してください。ただし、解と係数の関係は使用しないでください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $p=2$ と $q=r+1$ を元の式に代入します。

$\alpha + \beta + \gamma = 2$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = r+1$

$\alpha\beta\gamma = r$

2番目の式に3番目の式を代入すると、

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \alpha\beta\gamma + 1$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha - \alpha\beta\gamma - 1 = 0$

次に、1番目の式から $\gamma = 2 - \alpha - \beta$ を得ます。これを上記の式に代入します。

$\alpha\beta + \beta(2-\alpha-\beta) + (2-\alpha-\beta)\alpha - \alpha\beta(2-\alpha-\beta) - 1 = 0$

$\alpha\beta + 2\beta - \alpha\beta - \beta^2 + 2\alpha - \alpha^2 - \alpha\beta - 2\alpha\beta + \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - 1 = 0$

$-\alpha^2 - \beta^2 - 3\alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - 1 = 0$

ここで、$(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)$ を計算します。

$(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) = (\alpha-1)(\beta-1)(2-\alpha-\beta-1) = (\alpha-1)(\beta-1)(1-\alpha-\beta)$

$= (\alpha\beta - \alpha - \beta + 1)(1-\alpha-\beta) = \alpha\beta - \alpha^2\beta - \alpha\beta^2 - \alpha + \alpha^2 + \alpha\beta - \beta + \alpha\beta + \beta^2 + 1 - \alpha - \beta$

$= -\alpha^2\beta - \alpha\beta^2 + \alpha^2 + \beta^2 + 3\alpha\beta - 2\alpha - 2\beta + 1$

$= - (-\alpha^2 - \beta^2 - 3\alpha\beta + 2\alpha + 2\beta + \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 - 1) - 1 + 1 = 0$

したがって、$(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) = 0$ となります。

これは、$\alpha-1=0$ または $\beta-1=0$ または $\gamma-1=0$ を意味します。

つまり、$\alpha=1$ または $\beta=1$ または $\gamma=1$ です。

3. 最終的な答え

$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも一つは1である。