正八面体ABCDEFを面BCDEに平行な平面で切り、正四角錐Pと、正八面体からPを除いた立体Qに分けます。PとQの体積の比を求めなさい。

1. 問題の内容

正八面体ABCDEFを面BCDEに平行な平面で切り、正四角錐Pと、正八面体からPを除いた立体Qに分けます。PとQの体積の比を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、正八面体の体積を求めます。正八面体は、正四角錐を2つ合わせたものと考えることができます。

図から、正八面体の上の正四角錐の高さは5cmです。正八面体の中心を通る平面で切断したとき、正方形BCDEができるとすると、正方形BCDEの一辺の長さも5cmとなります。したがって、正方形BCDEの面積は、$5cm * 5cm = 25 cm^2$ となります。正四角錐の体積は、底面積 × 高さ × (1/3)で求められます。

正四角錐の体積は、$25 cm^2 * 5cm * (1/3) = 125/3 cm^3$となります。

正八面体の体積は、正四角錐2つ分の体積なので、$125/3 cm^3 * 2 = 250/3 cm^3$となります。

次に、正八面体を切断してできた正四角錐Pの体積を求めます。

相似な立体の体積比は、相似比の3乗に等しくなります。

正四角錐Pと正八面体の上部の正四角錐の相似比は、5cm: (5cm+5cm) = 1:2となります。

したがって、体積比は $1^3 : 2^3 = 1:8$ となります。

正四角錐Pの体積は、正八面体の上部の正四角錐の体積の1/8となるので、$125/3 cm^3 * (1/8) = 125/24 cm^3$となります。

最後に、立体Qの体積を求めます。立体Qの体積は、正八面体の体積から正四角錐Pの体積を引いたものなので、$250/3 cm^3 - 125/24 cm^3 = 2000/24 cm^3 - 125/24 cm^3 = 1875/24 cm^3$となります。

PとQの体積の比は、$125/24 cm^3 : 1875/24 cm^3 = 125 : 1875 = 1:15$となります。

3. 最終的な答え

1:15