数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 2$ で、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ (for $n=1,2,3,...$) を満たしています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 2$ で、漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ (for $n=1,2,3,...$) を満たしています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} - a_n = 6n$ は、隣接する項の差が分かっているので、階差数列の考え方を利用します。

まず、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

が成り立ちます。漸化式より $a_{k+1} - a_k = 6k$ なので、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 6k$

$a_n = 2 + 6 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、

$a_n = 2 + 6 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 2 + 3n(n-1)$

$a_n = 2 + 3n^2 - 3n$

$a_n = 3n^2 - 3n + 2$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ式ですが、$n=1$ のとき、$a_1 = 3(1)^2 - 3(1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$ となり、与えられた初項と一致するので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

したがって、$a_n = 3n^2 - 3n + 2$ が一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 2$