三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=6$である。 (1) $\cos \angle CAB$と内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を求める。 (2) $\angle CAB$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$\vec{AD}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表し、ADの長さを求める。 (3) 実数kに対して、点Eを$\vec{AE} = k\vec{AD}$を満たす点とする。三角形ABEの面積が14であるとき、kの値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=5$, $CA=6$である。

(1) $\cos \angle CAB$と内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を求める。

(2) $\angle CAB$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、$\vec{AD}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表し、ADの長さを求める。

(3) 実数kに対して、点Eを$\vec{AE} = k\vec{AD}$を満たす点とする。三角形ABEの面積が14であるとき、kの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle CAB$を求める。余弦定理より、

$$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos \angle CAB$$

$$5^2 = 7^2 + 6^2 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos \angle CAB$$

$$25 = 49 + 36 - 84 \cos \angle CAB$$

$$84 \cos \angle CAB = 60$$

$$\cos \angle CAB = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$$

次に、内積$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$を求める。

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| |AC| \cos \angle CAB = 7 \cdot 6 \cdot \frac{5}{7} = 30$$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 7:6$。したがって、$BD = \frac{7}{13}BC$。

$\vec{AD}$を$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

$$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{7}{13} \vec{BC} = \vec{AB} + \frac{7}{13} (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} + \frac{7}{13} \vec{AC} - \frac{7}{13} \vec{AB} = \frac{6}{13} \vec{AB} + \frac{7}{13} \vec{AC}$$

$$AD^2 = \left|\frac{6}{13} \vec{AB} + \frac{7}{13} \vec{AC}\right|^2 = \frac{1}{13^2} (36 |AB|^2 + 84 \vec{AB} \cdot \vec{AC} + 49 |AC|^2) = \frac{1}{169} (36 \cdot 49 + 84 \cdot 30 + 49 \cdot 36) = \frac{1}{169} (1764 + 2520 + 1764) = \frac{6048}{169} = \frac{144 \cdot 42}{169}$$

$$AD = \sqrt{\frac{6048}{169}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 168}{169}} = \frac{6}{13} \sqrt{168} = \frac{6}{13} \sqrt{4 \cdot 42} = \frac{12 \sqrt{42}}{13}$$

(3) $\vec{AE} = k \vec{AD}$なので、三角形ABEの面積は、三角形ABDの面積の$k$倍に等しい。

三角形ABCの面積をSとすると、$S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin \angle CAB$。

$\sin^2 \angle CAB = 1 - \cos^2 \angle CAB = 1 - \left(\frac{5}{7}\right)^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$。

$\sin \angle CAB = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 6 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7} = 6\sqrt{6}$

三角形ABDの面積は、$\frac{7}{13} S = \frac{7}{13} \cdot 6 \sqrt{6} = \frac{42 \sqrt{6}}{13}$

三角形ABEの面積は、$14 = k \cdot \frac{42 \sqrt{6}}{13}$

$k = \frac{14 \cdot 13}{42\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot 13}{6\sqrt{6}} = \frac{13}{3\sqrt{6}} = \frac{13\sqrt{6}}{18}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{5}{7}$

イ: 30

ウ: $\frac{6}{13}\vec{AB} + \frac{7}{13}\vec{AC}$

エ: $\frac{12\sqrt{42}}{13}$

オ: $\frac{13\sqrt{6}}{18}$