関数 $f(x) = \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x)$ を $r \sin(x + \alpha)$ の形に変形する。 (2) $f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x)$ を $r \sin(x + \alpha)$ の形に変形する。

(2) $f(x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x + \cos x$ を合成します。$f(x) = r \sin(x + \alpha)$ の形にするには、$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ となります。また、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ となります。

(2) $f(x) < 0$ となる $x$ の範囲を求めます。$f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$ より、$\sin(x + \frac{\pi}{4}) < 0$ となります。$0 \le x \le 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ となります。

$\sin \theta < 0$ となる $\theta$ の範囲は、$\pi < \theta < 2\pi$ です。したがって、

$\pi < x + \frac{\pi}{4} < 2\pi$

$\pi - \frac{\pi}{4} < x < 2\pi - \frac{\pi}{4}$

$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$ となります。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めます。$f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ と $x$ 軸との交点を求めます。$f(x) = 0$ となる $x$ は、$x + \frac{\pi}{4} = \pi, 2\pi$ より、$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ となります。

したがって、面積 $S$ は、

$S = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} |f(x)| dx = - \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} f(x) dx = - \sqrt{2} \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx$

$= - \sqrt{2} [-\cos(x + \frac{\pi}{4})]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} = \sqrt{2} [\cos(x + \frac{\pi}{4})]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} = \sqrt{2} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \sqrt{2} (1 - (-1)) = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

(2) $\frac{3}{4}\pi < x < \frac{7}{4}\pi$

(3) $2\sqrt{2}$