実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求める。

2. 解き方の手順

コーシー・シュワルツの不等式を利用する。

ベクトル $\vec{a} = (1, 1, 1)$ と $\vec{b} = (x, y, z)$ を考える。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$

$(1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z)^2 \leq (1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2)$

$(x + y + z)^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$

$x + y + z = 1$ を代入すると、

$1^2 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$

$1 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$

$\frac{1}{3} \leq x^2 + y^2 + z^2$

よって、$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行なとき、つまり、$x = y = z$ のときである。

$x + y + z = 1$ より、$x + x + x = 1$ なので、$3x = 1$。したがって、$x = \frac{1}{3}$。

よって、$x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x = y = z = \frac{1}{3}$ のときである。