与えられた2次式を因数分解する問題です。 式は $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ です。

1. 問題の内容

与えられた2次式を因数分解する問題です。

式は $(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ です。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 - b^2 = A$ とおきます。

すると、与えられた式は $Ax^2 + 4abx - A$ となります。

これを因数分解するために、たすき掛けを試みます。

$Ax^2 + 4abx - A = (ax + c)(dx + e)$ とおくと、$ad = A$、$ce = -A$、$ae + cd = 4ab$ となるように $a, c, d, e$ を見つけます。

$A = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ であることを利用します。

$A = (a+b)(a-b)$ を与えられた式に代入すると、

$(a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$ となります。

式を整理すると、 $((a+b)(a-b))x^2 + 4abx - (a+b)(a-b)$ となります。

ここで、たすき掛けを考えます。

$( (a+b)x - (a-b) ) ( (a-b)x + (a+b) ) = (a+b)(a-b)x^2 + ((a+b)^2 - (a-b)^2)x - (a+b)(a-b) = (a^2-b^2)x^2 + (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2)x - (a^2 - b^2) = (a^2 - b^2)x^2 + 4abx - (a^2 - b^2)$.

したがって、因数分解は $((a+b)x - (a-b))((a-b)x + (a+b))$ となります。

3. 最終的な答え

$((a+b)x - (a-b))((a-b)x + (a+b))$

または

$( (a+b)x - (a-b) ) ( (a-b)x + (a+b) )$

展開すると

$((a+b)x-(a-b))((a-b)x+(a+b)) = (a^2-b^2)x^2 + (a+b)^2x - (a-b)^2x - (a^2-b^2) = (a^2-b^2)x^2 + (a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2)x - (a^2-b^2) = (a^2-b^2)x^2 + 4abx - (a^2-b^2)$.