(1) 図において、$\angle BAC = \theta$, $AC = a$とおくとき、$BC$と$BH$の値を求める問題です。 (2) $\tan \theta = \frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 図において、$\angle BAC = \theta$, $AC = a$とおくとき、$BC$と$BH$の値を求める問題です。

(2) $\tan \theta = \frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$BC$の長さを求めます。$\tan \theta = \frac{BC}{AB}$なので、$BC = AB \tan \theta$となります。$AC = a$、 $BH = 2$、 $BC = 1$です。

$BC = AB \tan \theta = 1$

次に$BH$を求めます。$BH = a \sin \theta \cos \theta = 2$

$BC = a \sin \theta = 1$より、

$AC = a$.

(2)

$\tan \theta = \frac{1}{2}$のとき、$\cos \theta$と$\sin \theta$の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2}$です。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係を使います。

$\sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta$なので、これを$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入すると、

$(\frac{1}{2} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{1}{4} \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{5}{4} \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ (∵ $0^\circ < \theta < 90^\circ$ より $\cos \theta > 0$)

したがって、$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\sin \theta = \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

したがって、$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 1$

(1) $BH = 2$

(2) $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(2) $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$