与えられた2つの等比数列の和を求める問題です。 (1) 初項1、公比 $-\frac{1}{2}$、項数10の等比数列の和を求める。 (2) 初項 $\sqrt{3}$、第10項までの等比数列の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの等比数列の和を求める問題です。

(1) 初項1、公比 $-\frac{1}{2}$、項数10の等比数列の和を求める。

(2) 初項 $\sqrt{3}$、第10項までの等比数列の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を利用します。初項 $a=1$、公比 $r=-\frac{1}{2}$、項数 $n=10$として、公式に代入します。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S_{10} = \frac{1\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}} = \frac{1023}{1024} \times \frac{2}{3} = \frac{341}{512}$

(2) 等比数列の和の公式を利用します。初項 $a = \sqrt{3}$、公比 $r = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$、項数 $n=10$として、公式に代入します。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S_{10} = \frac{\sqrt{3}\left(1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{10}\right)}{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)} = \frac{\sqrt{3}\left(1-\frac{3^5}{3^{10}}\right)}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{3^5}\right)}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3\sqrt{3}\left(1-\frac{1}{243}\right)}{3+\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}\left(\frac{242}{243}\right)}{3+\sqrt{3}} = \frac{242\sqrt{3}}{81(3+\sqrt{3})}$

$\frac{242\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{81(9-3)} = \frac{242(3\sqrt{3}-3)}{81(6)} = \frac{242(3\sqrt{3}-3)}{486} = \frac{121(\sqrt{3}-1)}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{341}{512}$

(2) $\frac{121(\sqrt{3}-1)}{81}$