与えられた式を因数分解します。問題は2つあり、それぞれ (1) $8a^3b^2 + 20a^2b^3 - 12ab^3$ (2) $x^2 - 24x + 144$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。問題は2つあり、それぞれ

(1) $8a^3b^2 + 20a^2b^3 - 12ab^3$

(2) $x^2 - 24x + 144$

を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、各項に共通する因子を探し、それを括り出します。各項は、$4ab^2$ で割り切れるので、これで括ります。

$8a^3b^2 + 20a^2b^3 - 12ab^3 = 4ab^2(2a^2 + 5ab - 3b^2)$

次に、括弧の中の二次式を因数分解します。$2a^2 + 5ab - 3b^2$ を因数分解するため、積が $2 \times (-3) = -6$ 、和が $5$ となる2つの数を見つけます。そのような数は $6$ と $-1$ です。これを使って二次式を書き換えます。

$2a^2 + 5ab - 3b^2 = 2a^2 + 6ab - ab - 3b^2$

次に、ペアごとに因数分解します。

$2a^2 + 6ab - ab - 3b^2 = 2a(a + 3b) - b(a + 3b) = (2a - b)(a + 3b)$

したがって、$8a^3b^2 + 20a^2b^3 - 12ab^3 = 4ab^2(2a - b)(a + 3b)$

(2)

$x^2 - 24x + 144$ を因数分解します。これは $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ という形の完全平方式です。$144 = 12^2$ であり、$24x = 2 \times 12 \times x$ であることに注目してください。

したがって、$x^2 - 24x + 144 = (x - 12)^2$

3. 最終的な答え

(1) $4ab^2(2a - b)(a + 3b)$

(2) $(x - 12)^2$