二つの和の計算問題を解きます。 一つ目は $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$ であり、二つ目は $\sum_{k=1}^{n-1} 2k$ です。

1. 問題の内容

二つの和の計算問題を解きます。

一つ目は $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$ であり、二つ目は $\sum_{k=1}^{n-1} 2k$ です。

2. 解き方の手順

一つ目の問題：$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k$

次に、それぞれの和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらを合わせると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)(n(n+1) + 2)}{4} = \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

二つ目の問題：$\sum_{k=1}^{n-1} 2k$

定数 $2$ を和の外に出します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

次に、和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

これらを合わせると、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$

3. 最終的な答え

一つ目の問題：

$\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

二つ目の問題：

$n(n-1)$