(1) PA=PC, PB=PDであるとき、∠xの大きさを求める。 (2) BM=CM, CD⊥AB, BE⊥ACであるとき、∠yの大きさを求める。

1. 問題の内容

(1) PA=PC, PB=PDであるとき、∠xの大きさを求める。

(2) BM=CM, CD⊥AB, BE⊥ACであるとき、∠yの大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形PACと三角形PBDはそれぞれ二等辺三角形である。

∠PAC = ∠PCA, ∠PBD = ∠PDBである。

∠APB = ∠CPD = x である。

∠PAC = ∠PCA = 35°

∠PBD = ∠PDB = 35°

三角形APCについて、∠APC + ∠PAC + ∠PCA = 180°より、

$x + 35° + 35° = 180°$

$x + 70° = 180°$

$x = 180° - 70° = 110°$

(2)

CD⊥ABより、∠CDA = 90°

BE⊥ACより、∠BEA = 90°

BM=CMより、AMはBCの中線である。

三角形ABCにおいて、CDとBEはそれぞれ頂点C, Bから対辺に下ろした垂線であり、その交点をDとする。

交点Dは三角形ABCの垂心である。

三角形BMCについて、∠BMC = 30°である。

三角形ABCにおいて、AMは中線なので、AMは三角形ABCの∠Aの二等分線である。

∠ABC = 90° - ∠BAC

∠ACB = 90° - ∠BAC

∠BAC = yとおくと、

$∠ABC + ∠ACB = 180° - y$

三角形ABCにおいて、∠BEC = 90°なので、∠BCE = 90° - ∠EBC

同様に、∠CDA = 90°なので、∠DAC = 90° - ∠DCA

∠ABC = 90° - y

∠ACB = 90° - y

$∠y = ∠BAC$

$∠M = 30°$

$∠BCM = ∠MCB$

$∠MBC = ∠CBM$

よって、

$∠A = 60°$

3. 最終的な答え

(1) ∠x = 110°

(2) ∠y = 60°