4. 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。 5. 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解き、適切な選択肢を選ぶ。 6. 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するときの、$m$ の値と接点の座標を求める。 7. 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

4. 2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 3m - 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

5. 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 > 0$ を解き、適切な選択肢を選ぶ。

6. 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが $x$ 軸と接するときの、$m$ の値と接点の座標を求める。

7. 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つときの、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

4. 2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要がある。

$D = (m+1)^2 - 4(3m-2) > 0$

$m^2 + 2m + 1 - 12m + 8 > 0$

$m^2 - 10m + 9 > 0$

$(m-1)(m-9) > 0$

したがって、$m < 1$ または $9 < m$ である。

5. $x^2 - 6x + 9 > 0$

$(x-3)^2 > 0$

$x-3 \neq 0$

$x \neq 3$

したがって、$x$ は 3 以外のすべての実数である。選択肢は 2。

6. 2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ が $x$ 軸と接するためには、判別式 $D$ が 0 である必要がある。

$D = (2m)^2 - 4(1)(-2m-1) = 0$

$4m^2 + 8m + 4 = 0$

$m^2 + 2m + 1 = 0$

$(m+1)^2 = 0$

$m = -1$

このとき、$y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ であるから、接点の座標は $(1, 0)$。

7. 2次方程式 $x^2 - 3(m-1)x + 2m + 3 = 0$ が正の解と負の解を持つためには、2つの解の積が負である必要がある。解と係数の関係から、

$2m + 3 < 0$

$2m < -3$

$m < -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

4. $m < 1$, $9 < m$

5. 2

6. $m = -1$, $(1, 0)$

7. $m < -\frac{3}{2}$