関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 45x + 45$ の区間 $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、最小値は $0 < a < \boxed{} , a > \boxed{}$ のときと $\boxed{} \le a \le \boxed{}$ のとき、最大値は $\boxed{}$ という形で、それぞれ当てはまる数を答える形式です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 12x^2 - 45x + 45$ の区間 $0 \le x \le a$ における最小値と最大値を求める問題です。ただし、最小値は $0 < a < \boxed{} , a > \boxed{}$ のときと $\boxed{} \le a \le \boxed{}$ のとき、最大値は $\boxed{}$ という形で、それぞれ当てはまる数を答える形式です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、増減表を作成します。

$f'(x) = -3x^2 + 24x - 45 = -3(x^2 - 8x + 15) = -3(x-3)(x-5)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=3$ または $x=5$ のときです。

$f(0) = 45$

$f(3) = -27 + 12 \cdot 9 - 45 \cdot 3 + 45 = -27 + 108 - 135 + 45 = -9$

$f(5) = -125 + 12 \cdot 25 - 45 \cdot 5 + 45 = -125 + 300 - 225 + 45 = -5$

増減表は以下のようになります。

| x | 0 | ... | 3 | ... | 5 | ... | a |

|------|------|------|------|------|------|------|------|

| f'(x)| | - | 0 | + | 0 | - | |

| f(x) | 45 | ↓ | -9 | ↑ | -5 | ↓ | f(a) |

$0 < a < 3$ のとき、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 45a + 45$ になります。

$a > 5$ のときも、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 45a + 45$ になります。

$3 \le a \le 5$ のとき、最小値は $f(3) = -9$ になります。

したがって、

$0 < a < 3, a > 5$ のとき、最小値は $f(a) = -a^3 + 12a^2 - 45a + 45$

$3 \le a \le 5$ のとき、最小値は $-9$

次に、最大値を考えます。

$0 \le x \le a$の範囲で

$0 < a \le 3$ のとき、最大値は$f(0) = 45$

$a > 3$ のとき、0とaのどちらが最大か分からないため、比較が必要。

$f(0) = 45$

$0 \le a \le 5$ のとき、最大値は $f(0)=45$

$a>5$ のとき、$f(0)=45$

したがって、$0 \le a \le 5$ のとき最大値は45

3. 最終的な答え

最小値:

$0 < a < 3, a > 5$ のとき、$-a^3 + 12a^2 - 45a + 45$

$3 \le a \le 5$ のとき、 $-9$

最大値: $45$

空欄を埋めると、

最小値: $-a^3 + 12a^2 - 45a + 45$ $(0 < a < 3, a > 5$ のとき)

$-9$ $(3 \le a \le 5$ のとき)

最大値: $45$

したがって、

1: 3

2: 5

3: 3

4: 5

5: 4

6: 5

答え

1: 3

2: 5

3: 3

4: 5

5: 4

6: 5