(1) $\sin 3x + \sin 7x$ を和積の公式を用いて変形せよ。 (2) $4 \cos 3x \cos 2x$ を積和の公式を用いて変形せよ。

1. 問題の内容

(1) $\sin 3x + \sin 7x$ を和積の公式を用いて変形せよ。

(2) $4 \cos 3x \cos 2x$ を積和の公式を用いて変形せよ。

2. 解き方の手順

(1) 和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$A = 3x$, $B = 7x$ とすると、

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\sin 3x + \sin 7x = 2 \sin \frac{3x+7x}{2} \cos \frac{3x-7x}{2}

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= 2 \sin \frac{10x}{2} \cos \frac{-4x}{2}

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= 2 \sin 5x \cos (-2x)

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$\cos (-2x) = \cos 2x$ より、

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= 2 \sin 5x \cos 2x

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(2) 積和の公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を用いる。

$4 \cos 3x \cos 2x = 2(2\cos 3x \cos 2x)$

$A = 3x$, $B = 2x$ とすると、

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4 \cos 3x \cos 2x = 2 (\cos (3x+2x) + \cos (3x-2x))

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= 2 (\cos 5x + \cos x)

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= 2 \cos 5x + 2 \cos x

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3. 最終的な答え

(1) $\sin 3x + \sin 7x = 2 \sin 5x \cos 2x$

(2) $4 \cos 3x \cos 2x = 2 \cos 5x + 2 \cos x$

または $2(\cos 5x + \cos x)$