$\sin(\arccos{\frac{1}{4}})$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin(\arccos{\frac{1}{4}})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\arccos{\frac{1}{4}} = \theta$ とおきます。

すると、$\cos{\theta} = \frac{1}{4}$ となります。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ の関係式を用いると、

$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$

$\sin{\theta} = \pm\sqrt{1 - \cos^2{\theta}}$

$\theta = \arccos{\frac{1}{4}}$ より、$0 \leq \theta \leq \pi$ なので、$\sin{\theta} \geq 0$。

したがって、$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \cos^2{\theta}}$ となります。

$\sin{\theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2}$

$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15}}{4}$