与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた恒等式を用いて、各項を部分分数に分解する。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

恒等式を用いると、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

ここで、和を書き下すと、

$S = \frac{1}{2}[(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})]$

これは望遠鏡和（telescoping sum）と呼ばれるものであり、多くの項が打ち消しあう。残るのは最初の項と最後の項のみである。

$S = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2}(\frac{2n+1-1}{2n+1}) = \frac{1}{2}(\frac{2n}{2n+1}) = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$