正の実数 $x, y$ に対して、$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立つことを既知として、次の不等式を示す。 (1) 正の実数 $A, B, C, D$ に対して、$\frac{A+B+C+D}{4} \geq \sqrt[4]{ABCD}$ (2) 正の実数 $s, t, u$ に対して、$\frac{s+t+u}{3} \geq \sqrt[3]{stu}$

1. 問題の内容

正の実数 $x, y$ に対して、$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立つことを既知として、次の不等式を示す。

(1) 正の実数 $A, B, C, D$ に対して、$\frac{A+B+C+D}{4} \geq \sqrt[4]{ABCD}$

(2) 正の実数 $s, t, u$ に対して、$\frac{s+t+u}{3} \geq \sqrt[3]{stu}$

2. 解き方の手順

(1) 相加相乗平均の関係を繰り返し用いる。

まず、$x = \frac{A+B}{2}$ と $y = \frac{C+D}{2}$ に対して、既知の不等式を適用すると、

$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2}}{2} = \frac{A+B+C+D}{4} \geq \sqrt{\frac{A+B}{2} \cdot \frac{C+D}{2}}$

次に、$\frac{A+B}{2} \geq \sqrt{AB}$ と $\frac{C+D}{2} \geq \sqrt{CD}$ を用いると、

$\sqrt{\frac{A+B}{2} \cdot \frac{C+D}{2}} \geq \sqrt{\sqrt{AB} \cdot \sqrt{CD}} = \sqrt[4]{ABCD}$

よって、$\frac{A+B+C+D}{4} \geq \sqrt[4]{ABCD}$

(2) (1)の結果を用いる。

$A = s$, $B = t$, $C = u$, $D = \frac{s+t+u}{3}$ とおくと、

$\frac{s+t+u + \frac{s+t+u}{3}}{4} \geq \sqrt[4]{stu \cdot \frac{s+t+u}{3}}$

$\frac{4(s+t+u)}{12} = \frac{s+t+u}{3} \geq \sqrt[4]{stu \cdot \frac{s+t+u}{3}}$

両辺を4乗すると、$(\frac{s+t+u}{3})^4 \geq stu \cdot \frac{s+t+u}{3}$

両辺を$\frac{s+t+u}{3}$で割ると（$\frac{s+t+u}{3} > 0$より）、$(\frac{s+t+u}{3})^3 \geq stu$

両辺の3乗根をとると、$\frac{s+t+u}{3} \geq \sqrt[3]{stu}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{A+B+C+D}{4} \geq \sqrt[4]{ABCD}$

(2) $\frac{s+t+u}{3} \geq \sqrt[3]{stu}$