問題は以下の3つです。 (1) $0 < x_1, x_2 < \pi$ を満たす任意の実数 $x_1, x_2$ に対して、不等式 $\sin(\frac{x_1+x_2}{2}) \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$ を証明し、等号が成立する場合を示せ。 (2) $0 < x_1, x_2, x_3 < \pi$ を満たす任意の実数 $x_1, x_2, x_3$ に対して、不等式 $\sin(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}) \geq \sqrt[3]{\sin x_1 \sin x_2 \sin x_3}$ を証明し、等号が成立する場合を示せ。 (3) 半径 $R$ の円に内接する三角形の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

(1) $0 < x_1, x_2 < \pi$ を満たす任意の実数 $x_1, x_2$ に対して、不等式 $\sin(\frac{x_1+x_2}{2}) \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$ を証明し、等号が成立する場合を示せ。

(2) $0 < x_1, x_2, x_3 < \pi$ を満たす任意の実数 $x_1, x_2, x_3$ に対して、不等式 $\sin(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}) \geq \sqrt[3]{\sin x_1 \sin x_2 \sin x_3}$ を証明し、等号が成立する場合を示せ。

(3) 半径 $R$ の円に内接する三角形の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

相加相乗平均の不等式を利用します。$a, b > 0$ に対して $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立ちます。また、$0 < x < \pi$ において $\sin x > 0$ であることと、$f(x)=\sin x$ が $0 < x < \pi$ で上に凸な関数である（すなわち、イェンセンの不等式 $\sin(\frac{x_1+x_2}{2}) \geq \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{2}$が成り立つ）ことを利用します。

$\sin x$ が上に凸な関数であることより、イェンセンの不等式から、

$\sin\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{2}$

また、相加相乗平均の不等式より、

$\frac{\sin x_1 + \sin x_2}{2} \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$

したがって、

$\sin\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) \geq \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{2} \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$

$\sin(\frac{x_1+x_2}{2}) \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$

が成り立ちます。

等号が成立するのは、$\sin x_1 = \sin x_2$ すなわち $x_1 = x_2$ のときです。

(2)

(1)と同様に、イェンセンの不等式と相加相乗平均の不等式を利用します。

$\sin(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}) \geq \frac{\sin x_1 + \sin x_2 + \sin x_3}{3}$

$\frac{\sin x_1 + \sin x_2 + \sin x_3}{3} \geq \sqrt[3]{\sin x_1 \sin x_2 \sin x_3}$

したがって、

$\sin(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}) \geq \sqrt[3]{\sin x_1 \sin x_2 \sin x_3}$

が成り立ちます。

等号が成立するのは、$\sin x_1 = \sin x_2 = \sin x_3$ すなわち $x_1 = x_2 = x_3$ のときです。

(3)

半径 $R$ の円に内接する三角形の面積を $S$ とします。三角形の3つの内角を $A, B, C$ とすると、$A+B+C = \pi$ です。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(2R\sin A)(2R\sin B)\sin C = 2R^2\sin A \sin B \sin C$

$S$ を最大化するには、$\sin A \sin B \sin C$ を最大化すればよいです。

(2)の結果から、$\sin(\frac{A+B+C}{3}) \geq \sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C}$

$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \geq \sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C}$

$(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 \geq \sin A \sin B \sin C$

$\frac{3\sqrt{3}}{8} \geq \sin A \sin B \sin C$

したがって、$\sin A \sin B \sin C$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ です。

このとき、$A = B = C = \frac{\pi}{3}$ であり、三角形は正三角形です。

$S = 2R^2 \frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\frac{x_1+x_2}{2}) \geq \sqrt{\sin x_1 \sin x_2}$。等号成立は $x_1 = x_2$ のとき。

(2) $\sin(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}) \geq \sqrt[3]{\sin x_1 \sin x_2 \sin x_3}$。等号成立は $x_1 = x_2 = x_3$ のとき。

(3) $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$