与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和は、等差数列と等比数列の積の形になっているので、等比数列の公比を掛けて引くことで解きます。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $3$ を掛けた $3S$ を書き下します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引くと、

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2) + \dots + (n \cdot 3^{n-1} - (n-1) \cdot 3^{n-1}) - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

ここで、$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $3$, 項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$-4S = 3^n - 1 - 2n \cdot 3^n$

$4S = 1 - 3^n + 2n \cdot 3^n$

$S = \frac{1 - 3^n + 2n \cdot 3^n}{4}$

$S = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$