(1) 20人の生徒の小テストの点数分布が与えられている。このデータの平均値と分散を求め、さらに、1人の生徒の得点を $a$ から $b$ に変更したとき、全体の平均が3、分散が2になるような $a, b$ の値を求める。 (2) 確率変数 $X$ と $Y$ が独立であり、それぞれの平均と分散が与えられている。このとき、$aX + bY$ の平均と分散を求める。 (3) 確率変数 $X_1, X_2, ..., X_n, X_{n+1}$ が互いに独立であり、$T_n = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + ... + X_n)$ の平均と分散が与えられている。$X_{n+1}$ の平均と分散が与えられたとき、$T_{n+1} = \frac{1}{n+1}(X_1 + X_2 + ... + X_n + X_{n+1})$ の平均と分散を求める。

1. 問題の内容

(1) 20人の生徒の小テストの点数分布が与えられている。このデータの平均値と分散を求め、さらに、1人の生徒の得点を $a$ から $b$ に変更したとき、全体の平均が3、分散が2になるような $a, b$ の値を求める。

(2) 確率変数 $X$ と $Y$ が独立であり、それぞれの平均と分散が与えられている。このとき、$aX + bY$ の平均と分散を求める。

(3) 確率変数 $X_1, X_2, ..., X_n, X_{n+1}$ が互いに独立であり、$T_n = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + ... + X_n)$ の平均と分散が与えられている。$X_{n+1}$ の平均と分散が与えられたとき、$T_{n+1} = \frac{1}{n+1}(X_1 + X_2 + ... + X_n + X_{n+1})$ の平均と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、平均値を計算する。

平均 $\mu$ は、

$\mu = \frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 2}{20} = \frac{0 + 2 + 10 + 12 + 24 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9$

次に、分散 $\sigma^2$ を計算する。

$\sigma^2 = \frac{(0-2.9)^2 \cdot 1 + (1-2.9)^2 \cdot 2 + (2-2.9)^2 \cdot 5 + (3-2.9)^2 \cdot 4 + (4-2.9)^2 \cdot 6 + (5-2.9)^2 \cdot 2}{20}$

$= \frac{8.41 + 2(3.61) + 5(0.81) + 4(0.01) + 6(1.21) + 2(4.41)}{20}$

$= \frac{8.41 + 7.22 + 4.05 + 0.04 + 7.26 + 8.82}{20} = \frac{35.8}{20} = 1.79$

1人の得点が $a$ から $b$ に変更された後の平均が3、分散が2である。

変更後の合計点は、$58 - a + b$ であり、平均は $\frac{58 - a + b}{20} = 3$

よって、$58 - a + b = 60$ つまり、$-a + b = 2$

変更後の分散は、

$\sigma^2 = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} (x_i - 3)^2 = 2$

$\sum_{i=1}^{20} (x_i - 3)^2 = 40$

変更前の $\sum_{i=1}^{20} (x_i - 2.9)^2 = 35.8$

変更後の $\sum_{i=1}^{20} (x_i - 3)^2 = \sum_{i=1}^{20} ((x_i - 2.9) - 0.1)^2$

$= \sum_{i=1}^{20} (x_i - 2.9)^2 - 2(0.1) \sum_{i=1}^{20} (x_i - 2.9) + 20(0.1)^2$

$= 35.8 - 0.2 (58 - 20(2.9)) + 20(0.01) = 35.8 - 0.2(0) + 0.2 = 36$

元の得点が $a$ の生徒の得点が $b$ に変わったので、

$\sum (x_i - 3)^2 - (a-3)^2 + (b-3)^2 = 40$

$35.8 - (a-2.9)^2 + (b-2.9)^2 - 2(0.1)(-a+b) = 40$

$-(a-3)^2 + (b-3)^2 = 40 - 35.8 = 4.2$

$(b-a)(b+a-6) = 4.2$

$-a + b = 2$ より、$b = a + 2$

$2(a+2+a-6) = 4.2$

$2(2a - 4) = 4.2$

$4a - 8 = 4.2$

$4a = 12.2$

$a = 3.05$

$b = 5.05$

$a, b$ は整数でなければならないので、近似で、$a = 3, b = 5$

(2)

$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] = am_x + bm_y$

$V[aX + bY] = a^2V[X] + b^2V[Y] + 2abCov[X, Y]$

$X$ と $Y$ は独立なので $Cov[X, Y] = 0$

$V[aX + bY] = a^2v_x + b^2v_y$

(3)

$E[T_{n+1}] = E[\frac{1}{n+1} (X_1 + X_2 + ... + X_n + X_{n+1})] = \frac{1}{n+1} (E[X_1] + ... + E[X_n] + E[X_{n+1}])$

$= \frac{1}{n+1} (nm + m') = \frac{nm + m'}{n+1}$

$V[T_n] = V[\frac{1}{n}(X_1 + X_2 + ... + X_n)] = \frac{1}{n^2} V[X_1 + ... + X_n] = \frac{1}{n^2} (V[X_1] + ... + V[X_n])$

$= \frac{1}{n^2} (nv) = \frac{v}{n}$

$V[T_{n+1}] = V[\frac{1}{n+1} (X_1 + X_2 + ... + X_n + X_{n+1})] = \frac{1}{(n+1)^2} V[X_1 + ... + X_n + X_{n+1}]$

$= \frac{1}{(n+1)^2} (V[X_1] + ... + V[X_n] + V[X_{n+1}]) = \frac{1}{(n+1)^2} (nv + v') = \frac{nv + v'}{(n+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) 平均: 2.9, 分散: 1.79, $a=3$, $b=5$

(2) 平均: $am_x + bm_y$, 分散: $a^2v_x + b^2v_y$

(3) 平均: $\frac{nm + m'}{n+1}$, 分散: $\frac{nv + v'}{(n+1)^2}$