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画像に写っている数学の問題は全部で4問あります。それぞれの問題の内容は以下の通りです。 * **問題1:** 大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。 (1) 全て異なる目が出る。 (2) 目の積が奇数になる。 (3) 目の積が偶数になる。 (4) 目の積が20になる。 * **問題2:** 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうち異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個作れるか。 (1) 4桁の整数 (2) 4桁の奇数 (3) 4桁の5の倍数 * **問題3:** 7人の大人と5人の子供から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。 (1) 大人が2人以上選ばれる。 (2) 少なくとも子供が1人選ばれる。 * **問題4:** 8人を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。 (1) 3人部屋A, Bと2人部屋Cの3部屋に分ける。 (2) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける。

確率論・統計学場合の数組み合わせ順列確率
2025/6/5

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題は全部で4問あります。それぞれの問題の内容は以下の通りです。
* **問題1:** 大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。
(1) 全て異なる目が出る。
(2) 目の積が奇数になる。
(3) 目の積が偶数になる。
(4) 目の積が20になる。
* **問題2:** 6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうち異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、以下の条件を満たす整数は何個作れるか。
(1) 4桁の整数
(2) 4桁の奇数
(3) 4桁の5の倍数
* **問題3:** 7人の大人と5人の子供から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす場合は何通りあるか。
(1) 大人が2人以上選ばれる。
(2) 少なくとも子供が1人選ばれる。
* **問題4:** 8人を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。
(1) 3人部屋A, Bと2人部屋Cの3部屋に分ける。
(2) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

個別の問題に対する解法は以下の通りです。
* **問題1:**
* **(1) 全て異なる目が出る。**
大のサイコロの目は6通り、中のサイコロの目は大のサイコロの目と異なる5通り、小のサイコロの目は大と中のサイコロの目と異なる4通り。よって、通り数は 6×5×4=1206 \times 5 \times 4 = 120通り。
* **(2) 目の積が奇数になる。**
3つのサイコロの目が全て奇数であればよい。奇数の目は1, 3, 5の3通りなので、3×3×3=273 \times 3 \times 3 = 27通り。
* **(3) 目の積が偶数になる。**
全体の場合の数から、目の積が奇数になる場合を引けばよい。全体の場合の数は 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216通りなので、216−27=189216 - 27 = 189通り。
* **(4) 目の積が20になる。**
目の組み合わせは(1, 4, 5), (2, 2, 5), (1, 5, 4), (4, 1, 5), (5, 1, 4), (4, 5, 1), (5, 4, 1), (2, 5, 2), (5, 2, 2) 。(1,4,5)は順番を変えることで 3!=63! = 6通り、(2, 2, 5)は順番を変えることで 3!/2!=33!/2! = 3通りできるので、合計6+3=96+3 = 9通り。
* **問題2:**
* **(1) 4桁の整数**
千の位は0以外の5通り。百の位は千の位で使った数字以外で5通り。十の位は千、百の位で使った数字以外で4通り。一の位は千、百、十の位で使った数字以外で3通り。よって5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300通り。
* **(2) 4桁の奇数**
一の位が奇数となるのは1, 3, 5の3通り。千の位は0と一の位で使った数字以外の4通り。百の位は千と一の位で使った数字以外の4通り。十の位は千、百、一の位で使った数字以外の3通り。よって4×4×3×3=1444 \times 4 \times 3 \times 3 = 144通り。
* **(3) 4桁の5の倍数**
一の位が0または5の場合を考える。
* 一の位が0の場合: 千の位は0以外の5通り、百の位は千と一の位で使った数字以外の4通り、十の位は千、百、一の位で使った数字以外の3通り。よって 5×4×3=605 \times 4 \times 3 = 60通り。
* 一の位が5の場合: 千の位は0と5以外の4通り、百の位は千と一の位で使った数字以外の4通り、十の位は千、百、一の位で使った数字以外の3通り。よって 4×4×3=484 \times 4 \times 3 = 48通り。
合計60+48=10860 + 48 = 108通り。
* **問題3:**
* **(1) 大人が2人以上選ばれる。**
大人が2人、子供が1人の場合と、大人が3人の場合を考える。
* 大人が2人、子供が1人の場合: 大人の選び方は (72)=21{7 \choose 2} = 21通り、子供の選び方は (51)=5{5 \choose 1} = 5通り。よって21×5=10521 \times 5 = 105通り。
* 大人が3人の場合: 大人の選び方は (73)=35{7 \choose 3} = 35通り。
合計105+35=140105 + 35 = 140通り。
* **(2) 少なくとも子供が1人選ばれる。**
全体から大人だけ選ばれる場合を引く。全体は (123)=220{12 \choose 3} = 220通り。大人だけ選ばれるのは(73)=35{7 \choose 3} = 35通り。よって220−35=185220 - 35 = 185通り。
* **問題4:**
* **(1) 3人部屋A, Bと2人部屋Cの3部屋に分ける。**
8人からAの3人を選ぶ。残った5人からBの3人を選ぶ。残った2人がCになる。よって (83)×(53)×(22)=56×10×1=560{8 \choose 3} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} = 56 \times 10 \times 1 = 560通り。
* **(2) 3人, 3人, 2人の3つの組に分ける。**
8人から3人を選び、残りの5人から3人を選び、残りの2人を選ぶ。そして、3人組が区別できないので2!で割る。
(83)×(53)×(22)/2!=56×10×1/2=280{8 \choose 3} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} / 2! = 56 \times 10 \times 1 / 2 = 280通り。

3. 最終的な答え

* **問題1:**
* (1) 120通り
* (2) 27通り
* (3) 189通り
* (4) 9通り
* **問題2:**
* (1) 300個
* (2) 144個
* (3) 108個
* **問題3:**
* (1) 140通り
* (2) 185通り
* **問題4:**
* (1) 560通り
* (2) 280通り

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