問題は、直角三角形とその内部にある別の直角三角形に関するものです。具体的には、以下の2つの部分から構成されています。 (1) 図において、$BC = 1$、$CH = 2$ のとき、選択肢の中から正しいものを選択する問題。(1) の図は∠BAC = $\theta$, AB=aである。 (2) $tan \theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

問題は、直角三角形とその内部にある別の直角三角形に関するものです。具体的には、以下の2つの部分から構成されています。

(1) 図において、$BC = 1$、$CH = 2$ のとき、選択肢の中から正しいものを選択する問題。(1) の図は∠BAC = $\theta$, AB=aである。

(2) $tan \theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた図と条件を整理します。$BC=1$, $CH=2$, $AB=a$、$\angle BAC=\theta$ です。

* $BC = a \sin \theta$ なので、$a \sin \theta = 1$。従って、$a \sin \theta = 1$ が正しいです。

* $CH = BC \cos \angle BCH$、$\angle BCH = 90^\circ - \theta$ より $CH = BC \cos(90^\circ-\theta) = BC \sin \theta$、$CH = 1\cdot\sin \theta$ よって、$CH = \sin \theta$となり、$CH=2$より$\sin\theta=2$となるが$\sin\theta$は1以下なので誤りである。

(2)

$tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき、直角三角形の斜辺の長さを計算します。

三平方の定理より、斜辺の長さは $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ です。

したがって、$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$ と $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $a \sin \theta = 1$

(2) $\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$、$\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$