確率変数Xの確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下の確率と期待値、分散を計算する問題です。 (1) $P(0 \le X \le 2)$ と $P(1 < X \le 4)$ を求めます。 (2) $X$の期待値 $E[X] = \mu$ と分散 $V[X] = \sigma^2$ を求めます。 与えられた確率密度関数は次のとおりです。 $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{9}x & (0 \le x \le 3) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

## 回答

1. 問題の内容

確率変数Xの確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、以下の確率と期待値、分散を計算する問題です。

(1) $P(0 \le X \le 2)$ と $P(1 < X \le 4)$ を求めます。

(2) $X$の期待値 $E[X] = \mu$ と分散 $V[X] = \sigma^2$ を求めます。

与えられた確率密度関数は次のとおりです。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{2}{9}x & (0 \le x \le 3) \\

0 & (\text{その他})

\end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) 確率の計算

$P(0 \le X \le 2)$ は、確率密度関数を0から2まで積分することで求められます。

$P(0 \le X \le 2) = \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 \frac{2}{9}x \, dx$

$P(0 \le X \le 2) = \frac{2}{9} \int_0^2 x \, dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{2}(2^2) - \frac{1}{2}(0^2) \right)$

$P(0 \le X \le 2) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{4}{9}$

$P(1 < X \le 4)$ は、確率密度関数を1から4まで積分することで求められます。ただし、$f(x)$は$x > 3$ で 0 であるため、積分範囲は1から3になります。

$P(1 < X \le 4) = \int_1^4 f(x) \, dx = \int_1^3 \frac{2}{9}x \, dx + \int_3^4 0 \, dx$

$P(1 < X \le 4) = \frac{2}{9} \int_1^3 x \, dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_1^3 = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{2}(3^2) - \frac{1}{2}(1^2) \right)$

$P(1 < X \le 4) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot (9 - 1) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 = \frac{8}{9}$

(2) 期待値と分散の計算

期待値 $E[X]$ は、確率変数 $X$ と確率密度関数 $f(x)$ の積を全範囲で積分することで求められます。

$E[X] = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx = \int_0^3 x \cdot \frac{2}{9}x \, dx$

$E[X] = \frac{2}{9} \int_0^3 x^2 \, dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^3 = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(0^3) \right)$

$E[X] = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} \cdot 27 = \frac{2}{27} \cdot 27 = 2$

分散 $V[X]$ は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で計算できます。まず、$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) \, dx = \int_0^3 x^2 \cdot \frac{2}{9}x \, dx$

$E[X^2] = \frac{2}{9} \int_0^3 x^3 \, dx = \frac{2}{9} \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_0^3 = \frac{2}{9} \left( \frac{1}{4}(3^4) - \frac{1}{4}(0^4) \right)$

$E[X^2] = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4} \cdot 81 = \frac{2}{36} \cdot 81 = \frac{81}{18} = \frac{9}{2}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{9}{2} - 2^2 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P(0 \le X \le 2) = \frac{4}{9}$

$P(1 < X \le 4) = \frac{8}{9}$

(2) $\mu = E[X] = 2$

$\sigma^2 = V[X] = \frac{1}{2}$