確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が与えられたとき、以下の値を求めます。 (1) $P(0 \le X \le 2)$と$P(1 < X \le 4)$ (2) 期待値$E[X]$と分散$V[X]$

1. 問題の内容

確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が与えられたとき、以下の値を求めます。

(1) $P(0 \le X \le 2)$と$P(1 < X \le 4)$

(2) 期待値$E[X]$と分散$V[X]$

2. 解き方の手順

(1)

確率$P(0 \le X \le 2)$は、確率密度関数$f(x)$を区間$[0, 2]$で積分することで計算できます。

$P(0 \le X \le 2) = \int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 \frac{2}{9}x dx = \frac{2}{9} \int_0^2 x dx = \frac{2}{9} [\frac{1}{2}x^2]_0^2 = \frac{2}{9} (\frac{1}{2} \cdot 4 - 0) = \frac{2}{9} \cdot 2 = \frac{4}{9}$

確率$P(1 < X \le 4)$は、確率密度関数$f(x)$を区間$(1, 4]$で積分することで計算できます。ただし、$f(x)$は$0 \le x \le 3$で$\frac{2}{9}x$、$x > 3$で$0$なので、

$P(1 < X \le 4) = \int_1^4 f(x) dx = \int_1^3 f(x) dx + \int_3^4 f(x) dx = \int_1^3 \frac{2}{9}x dx + \int_3^4 0 dx = \frac{2}{9} \int_1^3 x dx + 0 = \frac{2}{9} [\frac{1}{2}x^2]_1^3 = \frac{2}{9} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 1) = \frac{2}{9} \cdot \frac{8}{2} = \frac{2}{9} \cdot 4 = \frac{8}{9}$

(2)

期待値$E[X]$は、確率密度関数$f(x)$を用いて$\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$で計算できます。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_0^3 x \cdot \frac{2}{9}x dx = \frac{2}{9} \int_0^3 x^2 dx = \frac{2}{9} [\frac{1}{3}x^3]_0^3 = \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \cdot 27 - 0) = \frac{2}{9} \cdot 9 = 2$

分散$V[X]$は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$で計算できます。まず$E[X^2]$を計算します。

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_0^3 x^2 \cdot \frac{2}{9}x dx = \frac{2}{9} \int_0^3 x^3 dx = \frac{2}{9} [\frac{1}{4}x^4]_0^3 = \frac{2}{9} (\frac{1}{4} \cdot 81 - 0) = \frac{2}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{9}{2}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{9}{2} - 2^2 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P(0 \le X \le 2) = \frac{4}{9}$, $P(1 < X \le 4) = \frac{8}{9}$

(2) $E[X] = 2$, $V[X] = \frac{1}{2}$