問題は、$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}$ が成り立つ時、等号が成り立つ条件を求めることです。 条件として、$x + y + z = 1$ が与えられています。等号が成り立つのは、$x + ウ = キ, y - オ = ク$ の時で、$x, y, z$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

問題は、$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}$ が成り立つ時、等号が成り立つ条件を求めることです。

条件として、$x + y + z = 1$ が与えられています。等号が成り立つのは、$x + ウ = キ, y - オ = ク$ の時で、$x, y, z$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

$x+y+z = 1$　より

$(1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2) \ge (x+y+z)^2$

$3(x^2 + y^2 + z^2) \ge 1^2 = 1$

$x^2 + y^2 + z^2 \ge \frac{1}{3}$

等号が成り立つのは、$x=y=z$ のときです。

$x+y+z=1$ より、$x=y=z=\frac{1}{3}$

したがって、$x=y=z=\frac{1}{3}$ を各変数に代入して、等号が成り立つ条件を求めます。

$x + ウ = キ$

$\frac{1}{3} + ウ = キ$

$y - オ = ク$

$\frac{1}{3} - オ = ク$

つまり

$x=y=z=\frac{1}{3}$　なので、

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}$

$z = \frac{1}{3}$

$x + y = x + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$y - x = y - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0$

3. 最終的な答え

$x + y = \frac{2}{3}$

$y - x = 0$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}$

$z = \frac{1}{3}$

したがって、

$x + y = \frac{2}{3}$ なので、ウは $y$, キは $\frac{2}{3}$

$y - x = 0$ なので、オは $x$, クは $0$

よって

$x=\frac{1}{3}$

$y=\frac{1}{3}$

$z=\frac{1}{3}$

$x + y = \frac{2}{3}$

$y - x = 0$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}$

$z = \frac{1}{3}$