$x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 、 $y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$のとき、 $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ と $x^3 + y^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 、 $y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$のとき、

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ と $x^3 + y^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$と$y^2$を計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$\frac{1}{x^2}$と$\frac{1}{y^2}$を計算します。

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$\frac{1}{y^2} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

したがって、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

次に、$x+y$と$xy$を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = (\sqrt{6})^3 - 3(1)(\sqrt{6}) = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 2\sqrt{3}$

$x^3 + y^3 = 3\sqrt{6}$