不等式 $5 \le |x+2| + |x-1| \le 9$ を満たす $x$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $5 \le |x+2| + |x-1| \le 9$ を満たす $x$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む不等式なので、$x$ の範囲を場合分けして考える。絶対値の中身が0になる $x$ の値は、$x=-2$ と $x=1$ である。したがって、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) $x < -2$ のとき

$|x+2| = -(x+2)$ 、 $|x-1| = -(x-1)$ であるから、

$|x+2| + |x-1| = -(x+2) - (x-1) = -2x - 1$

不等式は $5 \le -2x - 1 \le 9$ となる。

$5 \le -2x - 1$ より、 $6 \le -2x$ 、よって $x \le -3$ 。

$-2x - 1 \le 9$ より、 $-2x \le 10$ 、よって $x \ge -5$ 。

したがって、$-5 \le x \le -3$ 。

$x < -2$ と合わせて、$-5 \le x \le -3$ 。

(ii) $-2 \le x < 1$ のとき

$|x+2| = x+2$ 、 $|x-1| = -(x-1)$ であるから、

$|x+2| + |x-1| = (x+2) - (x-1) = 3$

不等式は $5 \le 3 \le 9$ となる。

これは成り立たない。したがって、解なし。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$|x+2| = x+2$ 、 $|x-1| = x-1$ であるから、

$|x+2| + |x-1| = (x+2) + (x-1) = 2x + 1$

不等式は $5 \le 2x + 1 \le 9$ となる。

$5 \le 2x + 1$ より、 $4 \le 2x$ 、よって $x \ge 2$ 。

$2x + 1 \le 9$ より、 $2x \le 8$ 、よって $x \le 4$ 。

したがって、$2 \le x \le 4$ 。

$x \ge 1$ と合わせて、$2 \le x \le 4$ 。

(i), (ii), (iii) より、$-5 \le x \le -3$ または $2 \le x \le 4$ 。

3. 最終的な答え

$-5 \le x \le -3$, $2 \le x \le 4$