三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{6}, b = 7, c = 5$ であるとき、$\cos C$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{6}, b = 7, c = 5$ であるとき、$\cos C$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

余弦定理を使って$\cos C$を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

この式を変形して$\cos C$を求めます。

$2ab\cos C = a^2 + b^2 - c^2$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

与えられた値を代入します。

$\cos C = \frac{(2\sqrt{6})^2 + 7^2 - 5^2}{2(2\sqrt{6})(7)}$

$\cos C = \frac{4 \times 6 + 49 - 25}{28\sqrt{6}}$

$\cos C = \frac{24 + 49 - 25}{28\sqrt{6}}$

$\cos C = \frac{48}{28\sqrt{6}}$

$\cos C = \frac{12}{7\sqrt{6}}$

$\cos C = \frac{12\sqrt{6}}{7 \times 6}$

$\cos C = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos C = \frac{2\sqrt{6}}{7}$