三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$のとき、辺$c$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$のとき、辺$c$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺$c$の長さを求める。余弦定理は、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

である。

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 10^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2(10)(6\sqrt{2})\cos 135^\circ$

$c^2 = 100 + 36 \times 2 - 120\sqrt{2} \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 100 + 72 + 120$

$c^2 = 292$

$c = \sqrt{292} = \sqrt{4 \times 73} = 2\sqrt{73}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{73}$