与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、各項が $k \cdot 5^{k-1}$ (ただし、$k$は1から$n$までの整数) の形式で表されるものの和です。すなわち、 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$ を計算します。

分かりました。画像にある3つの問題のうち、(1)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、各項が $k \cdot 5^{k-1}$ (ただし、$k$は1から$n$までの整数) の形式で表されるものの和です。すなわち、

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和の形をしています。このような数列の和を求めるには、数列全体に等比数列の公比を掛けて、元の数列との差を取るという手法を用います。

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $5$ を掛けた $5S$ を書きます。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

$S$ から $5S$ を引きます。

$S - 5S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}) - (1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n)$

$-4S = 1 + (2-1) \cdot 5 + (3-2) \cdot 5^2 + (4-3) \cdot 5^3 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1}$ は、初項 $1$、公比 $5$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5-1} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$S = -\frac{1}{4} \cdot (\frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n)$

$S = \frac{1}{16} \cdot (4n \cdot 5^n - 5^n + 1)$

$S = \frac{(4n-1)5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n-1)5^n + 1}{16}$