点 $(0, 1)$ との距離が $\sqrt{5}$ であり、直線 $x + 2y + 2 = 0$ に平行な直線 $l$ の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(0, 1)$ との距離が $\sqrt{5}$ であり、直線 $x + 2y + 2 = 0$ に平行な直線 $l$ の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. 求める直線 $l$ は、$x + 2y + 2 = 0$ に平行なので、$x + 2y + k = 0$ と表すことができます。ここで、$k$ は定数です。

2. 点 $(0, 1)$ と直線 $x + 2y + k = 0$ の距離が $\sqrt{5}$ であることから、$k$ の値を求めます。点と直線の距離の公式より、

$\frac{|0 + 2(1) + k|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|2 + k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$|2 + k| = 5$

3. 絶対値を外すと、2つの場合が考えられます。

$2 + k = 5$ のとき、$k = 3$

$2 + k = -5$ のとき、$k = -7$

4. したがって、直線 $l$ の方程式は、$x + 2y + 3 = 0$ または $x + 2y - 7 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x + 2y + 3 = 0$, $x + 2y - 7 = 0$