点 $A(0,1,3)$ を通り、2つの直線 $\begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$ と $\begin{cases} x = -1 + s \\ y = 3 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$ に平行な平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

点 $A(0,1,3)$ を通り、2つの直線

$\begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$

と

$\begin{cases} x = -1 + s \\ y = 3 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$

に平行な平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の方向ベクトルを求めます。

1つ目の直線は

$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

2つ目の直線は

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

これら２つのベクトルに平行な平面の法線ベクトル $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ は、これらのベクトルに垂直である必要があります。したがって、

$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = 0$

$-2a + 3b + c = 0$

$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = 0$

$a - b + 2c = 0$

これらの連立方程式を解きます。

$-2a + 3b + c = 0$ より $c = 2a - 3b$

$a - b + 2(2a - 3b) = 0$

$a - b + 4a - 6b = 0$

$5a - 7b = 0$

$5a = 7b$

$a = \frac{7}{5} b$

$b = 5$ とすると、$a = 7$

$c = 2(7) - 3(5) = 14 - 15 = -1$

よって、法線ベクトルは

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

平面の方程式は $7x + 5y - z = d$ の形になります。

この平面は点 $A(0,1,3)$ を通るので、

$7(0) + 5(1) - (3) = d$

$5 - 3 = d$

$d = 2$

したがって、平面の方程式は

$7x + 5y - z = 2$

3. 最終的な答え

$7x + 5y - z = 2$