与えられた二次関数 $y = -3x^2 + 6x + 13$ において、$x$ の変域が $2 < x < 4$ であるときの $y$ の値域を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -3x^2 + 6x + 13$ において、$x$ の変域が $2 < x < 4$ であるときの $y$ の値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 + 6x + 13$

$y = -3(x^2 - 2x) + 13$

$y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 13$

$y = -3((x - 1)^2 - 1) + 13$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 + 13$

$y = -3(x - 1)^2 + 16$

この式から、頂点の座標が $(1, 16)$ であることがわかります。また、$x^2$ の係数が負であるため、このグラフは上に凸の放物線です。

次に、与えられた $x$ の変域 $2 < x < 4$ における $y$ の値を考えます。

$x = 2$ のとき、

$y = -3(2 - 1)^2 + 16 = -3(1)^2 + 16 = -3 + 16 = 13$

$x = 4$ のとき、

$y = -3(4 - 1)^2 + 16 = -3(3)^2 + 16 = -3(9) + 16 = -27 + 16 = -11$

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ で、これは与えられた $x$ の変域 $2 < x < 4$ の外側にあります。

また、グラフは上に凸であるため、 $x$ が 2 から 4 に増加するにつれて $y$ の値は減少し続けます。

したがって、$x = 2$ のとき $y = 13$ であり、$x = 4$ のとき $y = -11$ です。

よって、$2 < x < 4$ の範囲において、$y$ の値は $-11$ より大きく $13$ より小さい値をとります。

3. 最終的な答え

$-11 < y < 13$