与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、奇数 $2k-1$ と $2^{k-1}$ の積を $k=1$ から $n$ まで足し合わせたものです。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、奇数 $2k-1$ と $2^{k-1}$ の積を $k=1$ から $n$ まで足し合わせたものです。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この数列の和を求めるために、等比数列の和の公式を利用するテクニックを用います。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、$S$ に $2$ を掛けた $2S$ を計算し、$S$ と $2S$ を並べて書きます。$2S$ は $S$ よりも項が一つずれるように書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-2} + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

$2S = \qquad 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \dots + (2n-5) \cdot 2^{n-2} + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S$ から $2S$ を引くと以下のようになります。

$S - 2S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-2} + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

括弧の中は、初項 $2$, 公比 $2$, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

よって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n = 2^{n+1} + 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n = 2^n(2 + 1 - 2n) - 3 = 2^n(3 - 2n) - 3$

$S = 3 - (3 - 2n)2^n = 3 + (2n - 3)2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$