与えられた和 $S$ を求めます。ここで、$S$ は次のように定義されています。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた和 $S$ を求めます。ここで、$S$ は次のように定義されています。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和は等差数列と等比数列の積の形になっています。このような和は、等比数列の公比を掛けて元の式から引くことで計算できます。

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $2$ を掛けた $2S$ を計算します。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n)$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を使って計算します。

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^n - 2$

これを上の式に代入します。

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = 2 \cdot 2^n + 2^n - 2n \cdot 2^n - 3$

$-S = (3 - 2n) \cdot 2^n - 3$

$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$