(1) 絶対値を含む方程式 $|x-1| = 2x$ を解く。 (2) 絶対値を含む不等式 $|2x-4| \le x$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む方程式 $|x-1| = 2x$ を解く。

(2) 絶対値を含む不等式 $|2x-4| \le x$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $|x-1| = 2x$ について

絶対値記号の中身の符号で場合分けをする。

(i) $x-1 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ のとき、 $|x-1| = x-1$ であるから、方程式は

$x - 1 = 2x$

$x = -1$

これは、$x \ge 1$ を満たさないので不適。

(ii) $x-1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ であるから、方程式は

$1 - x = 2x$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

これは、$x < 1$ を満たすので適する。

(2) $|2x-4| \le x$ について

絶対値記号の中身の符号で場合分けをする。

(i) $2x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、 $|2x-4| = 2x-4$ であるから、不等式は

$2x - 4 \le x$

$x \le 4$

したがって、$2 \le x \le 4$

(ii) $2x-4 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、 $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$ であるから、不等式は

$4 - 2x \le x$

$3x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{3}$

したがって、$\frac{4}{3} \le x < 2$

(i), (ii) を合わせて、$\frac{4}{3} \le x \le 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{3}$

(2) $\frac{4}{3} \le x \le 4$