数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

数列の和 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

$S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

両辺に2を掛けます。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S - 2S$ を計算します。

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ を用いて、

$2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2^{n+1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + 2 \cdot 2^n - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = -3 + (2 - (2n-1)) \cdot 2^n$

$-S = -3 + (3 - 2n) \cdot 2^n$

$S = 3 + (2n-3) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$