次の極限値を求めなさい。 (1) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+1)}{x}$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、3番の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の極限値を求めなさい。

(1) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+1)}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

分子を因数分解すると、$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ となります。よって、

$\lim_{x \to -2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -2 - 2 = -4$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができます。分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}}$

$x \to \infty$ のとき、$e^{2x} \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+1)}{x}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いることができます。分子と分母をそれぞれ微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(x+1)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}$

$x \to 0$ のとき、$x + 1 \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) 0

(3) 1