次の式を計算します。 $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)(64x^6-8x^3y^3+y^6)$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)(64x^6-8x^3y^3+y^6)$

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの括弧を展開します。これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ という公式の変形であることに気づきます。

$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$ は $a = 2x$、 $b = y$ とすると、$a^3 + b^3 = (2x)^3 + y^3 = 8x^3 + y^3$ となります。

したがって、与えられた式は次のようになります。

$(8x^3+y^3)(64x^6-8x^3y^3+y^6)$

ここで、再び$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$を利用します。

$a=8x^3$, $b=y^3$とすると、$a^2 = 64x^6$, $ab = 8x^3y^3$, $b^2 = y^6$ です。

したがって、与えられた式は

$(8x^3+y^3)((8x^3)^2 - (8x^3)(y^3) + (y^3)^2) = (8x^3)^3 + (y^3)^3$

$= 512x^9 + y^9$

3. 最終的な答え

$512x^9 + y^9$