自然数 $n$ について、「$n$ が 3 の倍数なら $n^2$ も 3 の倍数となる」という命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、「$n$ が 3 の倍数なら $n^2$ も 3 の倍数となる」という命題の逆と裏の真偽を判定し、正しい組み合わせを選択する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $p \implies q$ の形で表す。

ここで、$p$: $n$ が 3 の倍数、$q$: $n^2$ が 3 の倍数。

- **逆**: $q \implies p$ (すなわち、$n^2$ が 3 の倍数なら $n$ も 3 の倍数)

- **裏**: $\neg p \implies \neg q$ (すなわち、$n$ が 3 の倍数でないなら $n^2$ も 3 の倍数でない)

**元の命題の真偽**:

$n$ が 3 の倍数なら $n = 3k$ (kは整数)と表せる。

$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$n^2$ は 3 の倍数となる。したがって、元の命題は真である。

**逆の真偽**:

$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n^2 = 3m$ (m は整数)と表せる。

$n^2$ が 3 の倍数であるとき、$n$ は 3 の倍数でなければならない。もし $n$ が 3 の倍数でなければ、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ と表せる。

- $n = 3k+1$ のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、3 の倍数ではない。

- $n = 3k+2$ のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、3 の倍数ではない。

したがって、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数である。逆は真である。

**裏の真偽**:

$n$ が 3 の倍数でないなら、$n = 3k+1$ または $n = 3k+2$ と表せる。

- $n = 3k+1$ のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、3 の倍数ではない。

- $n = 3k+2$ のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、3 の倍数ではない。

したがって、$n$ が 3 の倍数でないなら、$n^2$ も 3 の倍数ではない。裏は真である。

まとめると、

- 逆: 真

- 裏: 真

3. 最終的な答え

4